Her Stem Space

Почему на первый взгляд простая гонка между зайцем и черепахой поднимает вопросы, волнующие философов и математиков на протяжении многих веков? Эта статья, частично вдохновленная книгой доктора Ричарда Элвса “Как разгадать код да Винчи и еще 34 удивительных способа применения математики”, исследует один из самых известных парадоксов в математике. Вместе с тем, что статья опирается на работу Элвса, она также предоставляет оригинальные размышления, нацеленные на раскрытие более глубоких понятий о движении, бесконечности и структуры реальности. Читателям рекомендуется ознакомиться с книгой Элвса, чтобы получить более шикорое представление о том, какими увлекательными способами математика пересекается с повседневной логикой.

Классическая западная басня о зайце и черепахе часто упоминается во многих книгах как символ настойчивости и предостережение против недооценки соперника. А что, если бы заяц не останавливался и не уснул, даже если черепаха стартовала раньше? Может, он мог выиграть? К сожалению, нет.

Суть рассуждения сводится к следующему. Представим, что заяц соревнуется с черепахой на 10 метров и соглашается дать сопернику фору – 5 метров. Чтобы выиграть гонку, зайцу нужно пересечь через финишную черту. Но перед этим, ему нужно достичь середину пути – место, где начала черепаха. Проблема такая: к тому моменту как заяц достигнет начальной точки черепахи, пройдет немного времени и черепаха уже передвинется на небольшое расстояние. Значит, теперь заяц должен добежать до новой позиции черепахи. Но к тому моменту как он доберется, черепаха уже продвинется чуть дальше. Этот процесс продолжается: каждый раз, когда заяц достигает того места, где была черепаха, она уже успевает продвинуться вперед. Не важно насколько быстро бегает заяц – черепаха всегда кажется на шаг впереди.

Звучит забавно, но примерно в 450 году до н.э. Зенон Элейский выдвинул похожий аргумент, который изменил представление о математике. Зенон Элейский известен лишь из упоминаний у Платона и Аристотеля, так как его собственные работы не сохранились до наших времен. Он придерживался радикальных мнений, утверждая, что движение и все изменения в пространстве – иллюзия. Чтобы подтвердить это, он сформировал несколько парадоксов, среди которых наиболее известен парадокс Ахиллеса и черепахи. Зенон также считал, что мир неделим на отдельные части, такие как земля и небо, человек и другие; все подобные разграничения – иллюзия. Он утверждал существование единого неделимого сущего.

Хотя такая мистическая точка зрения может быть близка к некоторым религиозным представлениям, немногие попытались бы обосновать ее с математической позиции, как это сделал Зенон. Тем не менее, его парадоксы имеют значение, выходящее за рамки метафизики, предсказывая математические открытия, сделанные веками позже.

В современную эпоху, благодаря обширным познаниям, можно заметить, что Зенон был неправ: атлеты могут обогнать черепах, а человек в движении уязвим перед пулей. Это неудивительно. Ключевая проблема по-прежнему заключается в том, как ответить на утверждение Зенона о том, что заяц должен выполнить бесконечное количество действий, чтобы обогнуть черепаху. Итак, главный вопрос – как опровергнуть аргумент Зенона о том, что зайцу нужно выполнить бесконечное количество действий, чтобы обогнать черепаху?

Понадобился бы бесконечный список заданий, которые должен выполнить заяц: сначала он должен достичь изначальную позицию черепахи, затем вторую, третью, четвертую – и так далее. Если бы этот список нужно было завершить, он бы продолжался до бесконечности. Это делает проблему увлекательной. Однако, даже если потребуется бесконечность, чтобы перечислить все задания зайца, это не значит, что зайцу потребуется целая вечность для их выполнения. Именно в этом и заключается скрытая ошибка аргумента.

Представим, что зайцу понадобится одна секунда, чтобы добежать до первой позиции черепахи, затем ему понадобится ½ секунды, чтобы добежать с этого места до следующей позиции черепахи, далее ¼ секунды до третьей позиции и так далее. Данные значения подобраны не для точного отображения скорости соперников, а для того, чтобы проиллюстрировать суть парадокса. Следовательно, общее время, за которое заяц достигнет черепахи, составляет:

1 + ½ + ¼ + ⅛ +…

Математики называют это серией – последовательностью значений, которые поочередно складываются. Несмотря на наличие бесконечного множества значений, сумма значений остается конечной. Сумма первых четырех значений равняется одному и 7/8. Сумма первых десяти значений – 1 и 511/512. С добавлением последующих значений, сумма стремится к двум. Математически, это значит, что ряд сводится к двум. Это записывается следующим образом:

1 + ½ + ¼ + ⅛ +…= 2

По истечению двух секунд, заяц завершит промежуточные действия и обгонит черепаху. В заключении, бесконечное количество заданий можно выполнить в течении ограниченного времени, если длительность каждого задания образуют сходящий ряд.

В то же время, расходящийся ряд является противоположностью этого явления. Этот термин относится к бесконечным рядам, частичные суммы которых не стремятся к конечному пределу, а наоборот – уходят в бесконечность. Оба ряда встречаются в физике, инженерии и даже в финансах. Применение таких рядов можно заметить в обработке сигналов при анализе волн и разложении в ряд Фурье, а также в информатике и машинном обучении – при создании решений, которые образуют сходящиеся ряды после этапа расхождения.

Таким образом, гонка между зайцем и черепахой представляет собой эффект бабочки – детская басня изменила ход развития тех отраслей математики, которые остаются незамеченными для большинства. Эта история не только научила морали и этики в детстве, но также стала предпосылкой к важным математическим концепциям. Так, если ты наткнешься на басню в детском отделе, спроси себя: какие уроки из этой истории могут изменить мое представление о мире? Кто знает, быть может, ты узнаешь нечто неожиданное.

---

Works Cited

Elwes, R. (2021). Mathematics 1001 : absolutely everything that matters in mathematics, in 1001 bite-sized explanations : Elwes, Richard, 1978- : Free Download, Borrow, and Streaming : Internet Archive. Internet Archive. https://archive.org/details/mathematics1001a0000elwe

TestBook. (2023). Divergent Sequences: Definition, Techniques and Solved Examples. Testbook. https://testbook.com/maths/divergent-sequences

Weisstein, E. W. (2024, August 22). Convergent Series. Mathworld.wolfram.com. https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSeries.html

O’Shields, Charlie. Tortoise and the Hare. Doodlewash, 21 Apr. 2019, https://doodlewash.com/tortoise-and-the-hare/.

About the Author

My name is Xiu Ann, I’m a senior STEM student from the Philippines currently studying pathology. I have published a research about geodetic engineering science, and a few research synthesis from our school. I hope this article has spread knowledge, and helps in creating a cause of movement for the people searching for a science-related topics. 

Translated by Aliya Abussagitova