Her Stem Space

যুক্তিটি নিম্নরূপ: ধরুন, খরগোশ কচ্ছপের সাথে ১০ মিটারের বেশি দৌড় দেবে এবং প্রাণীটিকে ৫ মিটারেরও বেশি দৌড় দিতে রাজি হবে। দৌড় জয়ের জন্য, খরগোশকে শেষ রেখা অতিক্রম করতে হবে। এটি করার আগে, তাকে অর্ধেক পথের বিন্দুতে পৌঁছাতে হবে, যেখানে কচ্ছপ শুরু করে। সমস্যাটি এখানে: খরগোশ যখন কচ্ছপ যেখান থেকে শুরু করেছিল সেখানে পৌঁছানোর সময়, কিছুটা সময় অতিবাহিত হয়েছে এবং প্রাণীটি কিছুটা এগিয়ে গেছে। সুতরাং, খরগোশকে এখন কচ্ছপের নতুন অবস্থানে দৌড়াতে হবে। যদিও সে যখন এটি করে, তখন এটি আরও কিছুটা এগিয়েছে। এই প্রক্রিয়াটি এভাবে চলতে থাকে: প্রতিবার খরগোশ কচ্ছপের কাছে পৌঁছানোর সময়, কিছু সময় অতিবাহিত হয়েছে এবং কচ্ছপটি আরও কিছুটা এগিয়েছে। কচ্ছপ যত দ্রুতই দৌড়াক না কেন, খরগোশ সর্বদা তার থেকে এক ধাপ এগিয়ে থাকবে।

এটা হাস্যরসের মতো শোনাচ্ছে, কিন্তু প্রায় ৪৫০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে, এলিয়ার জেনো এই ধরণের যুক্তি উপস্থাপন করেছিলেন যা গণিতের দৃষ্টিভঙ্গি বদলে দিয়েছিল। এই দার্শনিক সম্পর্কে খুব কমই জানা যায় কারণ তার কোনও রচনাই টিকে নেই, তবে প্লেটো এবং অ্যারিস্টটলের মাধ্যমে পরোক্ষভাবে ব্যবহৃত হয়েছে। তবে মনে হয় এলিয়ার জেনো সত্যিই মৌলিক বিশ্বাস পোষণ করেন। তিনি মনে করেছিলেন যে এই গতি, এবং প্রকৃতপক্ষে যেকোনো ধরণের পরিবর্তন, একটি বিভ্রম। এই দৃষ্টিভঙ্গির সমর্থনে, তিনি একটি প্যারাডক্সের তালিকা তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে খরগোশের আকারে অ্যাকিলিস সবচেয়ে বিখ্যাত। জেনো আরও বিশ্বাস করতেন যে পৃথিবীকে পৃথিবী এবং আকাশ, অথবা আমি এবং তুমি এর মতো ছোট ছোট উপাদানে বিভক্ত করা অসম্ভব; এই ধরণের সমস্ত বিভাজনও মায়াময়। জেনো মনে করেন যে কেবল একটি অবিভাজ্য সত্তা বিদ্যমান।

এই রহস্যময় দৃষ্টিভঙ্গি এখনও ধর্মীয় মনোভাবের কিছু মানুষের কাছে আবেদনময় হতে পারে। তবে, জেনোর মতো অনেকেই গাণিতিকভাবে এর পক্ষে যুক্তি উপস্থাপনের চেষ্টা করবেন না। তবুও, তার প্যারাডক্সগুলির গুরুত্ব তার অধিবিদ্যক বিশ্বাসের চেয়েও বেশি, কারণ তারা এমন গাণিতিক আবিষ্কারের প্রত্যাশা করেছিল যা হাজার বছরেরও বেশি সময় ধরে করা হবে না।

দুর্ভাগ্যবশত, আধুনিক যুগে যখন পৃথিবীতে প্রচুর জ্ঞান ছড়িয়ে ছিটিয়ে আছে, তখন এটা প্রমাণিত হতে পারে যে জেনো আসলেই ভুল ছিলেন: মহান ক্রীড়াবিদরা কচ্ছপদের ছাড়িয়ে যেতে পারেন, এবং একজন হাঁটা ব্যক্তি দ্রুতগতির বুলেট থেকে নিরাপদ নন। এটি একটি বড় আশ্চর্যের বিষয় হওয়া উচিত নয়। যাই হোক, অনুমানগুলি পরীক্ষা করার জন্য উৎসাহিত করা হয় না। সুতরাং, মূল প্রশ্ন হল জেনোর যুক্তি কীভাবে খণ্ডন করা যায় যে খরগোশকে কচ্ছপকে অতিক্রম করার জন্য অসংখ্য কাজ শেষ করতে হবে।

খরগোশের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত কাজের একটি অসীম দীর্ঘ তালিকা প্রয়োজন: প্রথমে তাকে কচ্ছপের প্রাথমিক অবস্থানে পৌঁছাতে হবে, তারপর দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং তারপর চতুর্থ, ইত্যাদি। যদি তালিকাটি সম্পন্ন করার প্রয়োজন হয়, তবে এটি মহাবিশ্বের শেষ প্রান্তে অব্যাহত থাকবে। এটাই সমস্যাটিকে এত আকর্ষণীয় করে তোলে। যাইহোক, খরগোশের যে কাজটি সম্পন্ন করতে হবে তা বলতে অসীম দীর্ঘ সময় লাগবে বলেই, এটি এই যুক্তির মধ্যে লুকানো মিথ্যা পদক্ষেপ।

ধরুন, খরগোশের কচ্ছপের শুরুর অবস্থানে পৌঁছাতে ১ সেকেন্ড সময় লাগে, এবং তারপর সেখান থেকে কচ্ছপের পরবর্তী অবস্থানে পৌঁছাতে তার ১/২ সেকেন্ড সময় লাগে, তৃতীয় অবস্থানে পৌঁছাতে আরও ১/৪ সেকেন্ড সময় লাগে, ইত্যাদি। এখানে সংখ্যাগুলি দৌড়বিদদের গতি সঠিকভাবে উপস্থাপন করার পরিবর্তে কেন্দ্রীয় বিন্দুটি চিত্রিত করার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছে। অতএব, আমি তাকে প্রাণীটি ধরতে মোট কত সময় নেব তা হল:

১ + ১/২ + ১/৪ + ১/৮ +…

গণিতবিদরা একে সিরিজ বলে থাকেন: পদের একটি তালিকা যা অগ্রগতির সাথে সাথে যোগ করা হয়। এই নির্দিষ্ট সিরিজের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যদিও সিরিজে অসীম সংখ্যক পদ রয়েছে, আমরা যত এগোই ততই যোগফল সীমা ছাড়াই বড় থেকে বড় হয় না। প্রথম চারটি পদ যোগ করলে ১ এবং ৭/৮ পাওয়া যায়। প্রথম দশটি যোগ করলে ১ এবং ৫১১/৫১২ পাওয়া যায়। এই সংখ্যাগুলি যত বেশি যোগ করা হয়, এটি একটি বৃহত্তর সংখ্যায় বৃদ্ধি পায় না, বরং এটি ২ সংখ্যার কাছাকাছি ঝুঁকে পড়ে। এটি বলার গাণিতিক উপায় হল যে সিরিজটি ২ এর মানের সাথে একত্রিত হয়। এটি লেখা হয়:

১ + ১/২ + ১/৪ + ১/৮ +… = ২

দৌড়ে ফিরে আসার ২ সেকেন্ড পরে, খরগোশের সমস্ত তাৎক্ষণিক পদক্ষেপ সম্পন্ন হয়ে গেছে। সেই মুহূর্তে সে কচ্ছপকে ছাড়িয়ে যাবে। নীতি হল যে, একটি সীমিত সময়ের মধ্যে অসীম সংখ্যক কাজ সম্পাদন করা সম্ভব, যতক্ষণ না প্রতিটি কাজের সময় একটি অভিসারী সিরিজ তৈরি করে।

এদিকে, একটি বিচ্যুত ধারা এর বিপরীত। এই শব্দটি অসীম ধারাকে বোঝায় যেখানে এর ধারার আংশিক যোগফলের অসীম ধারার কোন সীমাবদ্ধ সীমা থাকে না, বরং অসীম পর্যন্ত পৌঁছায়। পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল এবং এমনকি অর্থায়নেও এই দুটি ধারা একসাথে বিদ্যমান। তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং এর ফুরিয়ার ধারা বিশ্লেষণের মাধ্যমে সংকেত প্রক্রিয়াকরণ গণনা করা, এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে মেশিন লার্নিং ব্যবহার করে সমাধান তৈরি করা যা বিচ্যুতির ধারার পরে অভিসৃষ্ট ধারা তৈরি করে।

অতএব, খরগোশ এবং কচ্ছপের মধ্যে প্রতিযোগিতা হল একটি প্রজাপতির প্রভাব যা গণিতের পরবর্তী শাখাগুলিকে এগিয়ে নিয়ে যায় যা বেশিরভাগই দেখতে পায় না। এটি কেবল শিশু হিসাবে নৈতিক ও নীতিগত শিক্ষাই দেয়নি, বরং জনপ্রিয় গাণিতিক ধারণাগুলির উল্লেখও করেছে। সুতরাং, যদি আপনি শিশুদের বিভাগে একটি উপকথার মুখোমুখি হন, তাহলে এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করুন: সেই পৃষ্ঠাগুলিতে কী ধরণের শিক্ষা লুকিয়ে আছে যা আমার ধারণা পরিবর্তন করতে পারে? কে জানে, আপনি অপ্রত্যাশিত কিছু শিখতে পারেন

Work Cited

Elwes, R. (2021). Mathematics 1001 : absolutely everything that matters in mathematics, in 1001 bite-sized explanations : Elwes, Richard, 1978- : Free Download, Borrow, and Streaming : Internet Archive. Internet Archive. https://archive.org/details/mathematics1001a0000elwe

TestBook. (2023). Divergent Sequences: Definition, Techniques and Solved Examples. Testbook. https://testbook.com/maths/divergent-sequences

Weisstein, E. W. (2024, August 22). Convergent Series. Mathworld.wolfram.com. https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSeries.html

About the Author

My name is Xiu Ann, I’m a senior STEM student from the Philippines currently studying pathology. I have published a research about geodetic engineering science , and a few research synthesis from our school. I hope this article has spread knowledge, and helps in creating a cause of movement for the people searching for a science-related topics. 

Translated by Mardhiah Mohtasemat Haque